3-La recta y sus posibles posiciones

La proyección de una recta sobre un plano es otra recta formada por la proyección de todos los puntos de aquella. Por tanto, una recta quedará definida por las proyecciones de dos de sus puntos.

 

La proyección de una recta puede entenderse también como la traza de un plano que pasando por el centro de proyección e incluyendo a dicha recta intercepta al plano de proyección. Este tipo de planos se denominan proyectantes.

 

Caracterización de una recta en Diédrico

 

Consideración 1: Para que un punto pertenezca a una recta, las proyecciones del punto deben estar en las trazas de la recta que lo contiene.

 

Consideración 2: Dos rectas se cortan en el espacio si las proyecciones del presumible punto de corte están en la misma perpendicular a LT. En este caso, las rectas serán coplanares. En caso contrario, las rectas se cruzarán.

 

Intersección de rectas

Puntos notables de la recta

 

Las trazas de la recta son los puntos de intersección de dicha recta con los planos de proyección. En general, una recta vendrá definida por sus dos trazas: una horizontal, de cota nula, y otra vertical, de alejamiento nulo.

 

Para identificar la traza horizontal, sabemos que dicho punto ha de estar en la recta y que ha de tener cota nula, es decir, su proyección vertical debe de situarse en la línea de tierra. Una vez localizado el corte de la proyección vertical de la recta con LT, la perpendicular trazada por este punto determina sobre la proyección horizontal de la recta la traza horizontal. El método empleado para la obtención de la traza vertical es similar, y parte de considerar el alejamiento nulo de la traza vertical.

 

Las trazas, como puntos que son, se nombran con la misma letra mayúscula

que designa la recta y el subíndice “1” o “2”, según consideremos la traza horizontal o vertical, respectivamente.

Si las trazas son inaccesibles (es decir, las trazas están en el infinito), las rectas serán paralelas a uno de los planos de proyección o a ambos simultáneamente.

Punto de corte con el primer bisector: Trazamos la simétrica respecto a LT de la proyección vertical. Su intersección con la proyección horizontal nos da el punto. Lógicamente cota y alejamiento tendrán el mismo valor absoluto. (cabe decir lo mismo haciendo la simétrica de la proyección horizontal). Se designa con la letra X.

 

Posiciones de la recta

Hay distintas posiciones de la recta:

Recta horizontal:

Es una recta paralela al plano horizontal de proyección, por lo cual sólo tiene traza vertical, la proyección horizontal de la recta estará en verdadera magnitud y su proyección vertical será paralela a LT.



Recta frontal:

Es una recta paralela al plano vertical de proyección, por lo cual sólo tiene traza horizontal, la proyección vertical de la recta estará en verdadera magnitud y su proyección horizontal será paralela a LT.


Punto de corte con el segundo bisector: Determinado por el punto de intersección de las
proyecciones vertical y horizontal de la recta considerada. Se designa con la letra Y.

 

Recta vertical.
Es una frontal perpendicular al plano horizontal y, por lo tanto, paralela al plano vertical. Su proyección horizontal se reduce a un punto que coincide con la traza horizontal y la vertical, que es perpendicular a la línea de tierra, está en verdadera magnitud. Sólo tiene traza horizontal Hr, que coincide con R1.

Recta de punta.
Se trata de una horizontal perpendicular al plano vertical. La traza r1, perpendicular a LT, está en verdadera magnitud, mientras que r2 se reduce a un punto que coincide con la traza vertical de la recta. Solo tiene traza vertical.

Recta paralela a la línea de tierra. Se trata de  una recta paralela simultáneamente a los planos vertical y horizontal de proyección. Sus proyecciones horizontal y vertical son paralelas a línea de tierra,  están en verdadera magnitud.

Recta de perfil. Se trata de una recta paralela al plano de perfil, es perpendicular al plano vertical y al horizontal, su proyección de perfil está en verdadero tamaño. En la lámina hemos representado un segmento de la recta y es en la proyección de perfil donde está en verdadera magnitud.

 

1-   EL PUNTO:

El punto en diédrico es el elemento más básico que se puede representar

Para obtener la representación de Para obtener la representación de un punto del  espacio sobre  un plano un punto  del espacio sobre un plano se trazan las rectas proyectantes, se trazan las rectas proyectantes, siendo estas perpendiculares a los siendo estas perpendiculares a los planos. Los puntos se representan con letras mayúsculas y sus, proyecciones sobre el PH se indican con un subíndice: 1 para el PH, dos sobre el PV, y con tres sobre el plano de perfil. La distancia del punto al plano vertical se llama alejamiento, la distancia al plano horizontal se llama cota, y la distancia al plano de perfil, desviación

a)    Primer Cuadrante: Todos los puntos del primer cuadrante se caracterizan por tener la cota y alejamiento positivos

b)    Segundo cuadrante: Todos sus puntos del segundo cuadrante se caracterizan por tener cota positiva y alejamiento negativo

c)    Tercer cuadrante: Todos sus puntos se caracterizan por tener una cota y alejamiento negativos.

d)    Cuarto cuadrante: Todos sus puntos se caracterizan por tener cota negativa y alejamiento positivo

-       En el caso de que el punto este contenido en un plano bisector, tendremos cuatro posibilidades:

1-Primer plano bisector (en el primer cuadrante): Tienen la misma cota y alejamiento, y ambos son positivos.

1plan-    Segundo o bisector (segundo cuadrante): Tienen la misma cota y alejamiento, solo que la cota es positiva y el alejamiento negativo.

2-    Primer plano bisector (tercer cuadrante): Misma cota y alejamiento y ambos negativos

3-    Segundo plano bisector (cuarto cuadrante): Misma cota y alejamiento, solo que la cota es negativa y el alejamiento positivo.

Vamos a representar todos estos puntos (que son 17) y a daros todos los datos que tenemos de ellos como la cota, alejamiento, proyección vertical y horizontal…, a estos los llamamos “el alfabeto de puntos”

En esta imagen podemos ver la descripcion de una serie de puntos q aora procedere a explicarla:
punto a : tiene mas alejamiento que cota eso quiere decir q estara en el primer cuadrante y en el primer octante
punto b : tiene la misma cota q alejamiento esta contenido en el primer cuadrante y en el primer plano bisector
punto c: tiene mas cota que alejamiento esta contenido en el primer cua`drnte en el segundo octante
punto d: no tiene alejamiento y tiene cota positiva esta contenido en el primer cuandrante en el plano vertical
punto e : tiene cota positiva y alejamiento negativo tiene menor alejamiento que cota y esta contenido en el segundo cuadrante en el tercer octante
punto f: tiene cota positiva y alejamiento negativo tiene la misma cota que alejamiento esta contenido en el segundo cuadrante y en el segundo plano bisector
punto g: tiene cota positiva y alejamiento negativo tiene menor cota que alejamiento esta contenido en el segundo cuadrante y en el cuarto octante
punto h: tiene cota nula y alejamiento negativo esta contenid en el segundo cuadrante en el plano horizontal
punto i: tiene cota y alejamiento negativos tiene mayor alejamiento que cota esta contenido en el tercer cuandrante en el quinto octante
punto j:tiene cota y alejamiento negativos tiene cota y alejamiento iguales esta contenido en el tercer cuadrante y en el primer plano bisector
punto k: tiene cota y alejamiento negativos tiene mayor cota que alejamiento esta contenido en el tercer cuadrante en el sexto octante
punto l: tiene cota negativa y alejamiento nulo esta contenido en el tercer cuandrante en el plan vertical
punto m:tiene cota negativa y alejamiento positivo tiene mayor cota que alejamiento esta contenido en el cuarto cuandrante en el septimo octante
punto n:tiene cota negativa y alejamiento positivo tiene la misma cota que alejamiento esta contenido en el cuarto cuadrante en el segundo plano bisector
punto ñ:tiene cota negativa y alejamiento positivo tiene mayor alejamiento que cota esta contenido en el cuarto cuadrante en el octavo octante
punto o:tiene cota nula y alejamiento positivo esta contenido en el cuarto cuadrante en el plano horizontal
punto q: tiene cota y alejamiento nulos esta contenido en la linea de tierra

Proyecciones y fundamentos del sistema diédrico

1.Introducción:

Para representar objetos tridimensionales en dos dimensiones recurrimos a su proyección en un plano. El tipo de proyección determina el tipo de representación o perspectiva. 


Para obtener sobre un plano la representación de una figura que está en el espacio es necesario proyectarla. Siempre que se traslade la superficie terrestre a un plano se distorsionará, debido a su redondez.


Un sistema de representación se  puede definir como un conjunto de 
principios  que, mediante la utilización de proyecciones, permite realizar 
representaciones planas de objetos tridimensionales.

2.Proyecciones:

Sistema de Proyección Diédrica, también denominado sistema de Doble Proyección Ortogonal, Comenzando con la descripción de este sistema de proyección, se basa en definir la proyección ortogonal de los objetos, en forma simultánea, sobre dos planos principales de proyección, perpendiculares entre sí. Se obtienen dos proyecciones ortogonales , por medio de las cuales se puede concebir la forma tridimensional del mismo.

Se denominan proyecciones ortogonales al sistema de representación que nos permite dibujar en diferentes planos un objeto situado en el espacio.

Cuando hablamos de sistemas de representación nos referimos a un método, código o conjunto de normas preestablecidas que posibilita transmitir ideas gráficas.

2.1.Tipos de proyecciones:

-Una proyección cilíndrica: es una proyección cartográfica que usa un cilindro tangente a la esfera terrestre, colocado de tal manera que el paralelo de contacto es el ecuador. La malla de meridianos y paralelos se dibuja proyectándolos sobre el cilindro suponiendo un foco de luz que se encuentra en el centro del globo.

El cilindro es una figura geométrica que puede desarrollarse en un plano. La más famosa es la proyección de Mercator que revolucionó la cartografía. En ella se proyecta el globo terrestre sobre un cilindro. Es una de las más utilizadas aun cuando por lo general en forma modificada, debido a las grandes distorsiones que ofrece en las zonas de latitud elevada, lo que impide apreciar en sus verdaderas proporciones las regiones polares.

Proyección cilíndrica ortogonal:En la proyección cilíndrica ortogonal los rayos proyectantes son todos paralelos y perpendiculares al plano de proyección alfa.

Este tipo de proyección es el que utilizamos en el sistema diédrico, en el sistema de planos acotados y en las perspectivas axonométricas ortogonales. Las líneas de proyección son perpendiculares al plano de proyección. 

-Proyección cónica o proyección perspectiva: se denomina al sistema de representación gráfico en donde el haz de rayos proyectantes confluye en un punto (el ojo del observador), proyectándose la imagen en un plano auxiliar situado entre el objeto a representar el punto de vista.

Es el sistema de representación que ayuda a reproducir (normalmente en un plano) las imágenes del modo más fiel, con un resultado muy similar a como lo percibimos realmente.

Es el sistema empleado en la perspectiva cónica. Hay que saber indentificar la Proyección cónica y la Proyección Cilíndrica

La proyección cónica se utiliza para elaborar dibujos realistas de objetos, mapas de la Tierra, etc.

-Proyección oblicua: es aquella cuyas rectas proyectantes auxiliares son oblicuas al plano de proyección, estableciéndose una relación entre todos los puntos del elemento proyectante con los proyectados.

En el plano, la proyección oblicua es aquella cuyas líneas proyectantes auxiliares son oblicuas a la recta de proyección.

Así, dado un segmento, bastará proyectar los puntos "extremos" del segmento –mediante líneas proyectantes auxiliares oblicuas, para determinar la proyección sobre la recta.

3.Fundamentos y elementos del sistema diédrico:

-El sistema diédrico es un método de representación de proyecciones múltiples, en el que los elementos quedan definidos por sus proyecciones ortogonales sobre al menos dos planos de proyección.
Los planos de proyección de los que nos valemos generalmente son 3: planta, alzado y perfil. Una vez que se han proyectado sobre cada unos de ellos las vistas ortogonales del objeto, se giran hasta hacerlos coincidir los tres en un mismo plano. 

-En la figura un cilindro se proyecta punto por punto sobre el plano horizontal PH y el vertical PV. Como se hace mediante perpendiculares, la circunferencia de la base se transforma en el alzado en una línea recta, por ser el plano que la contiene perpendicular al plano vertical.
Por ser paralela a la planta, la cara superior del cilindro se transforma sobre este plano en un círculo igual. La recta de intersección del plano vertical y horizontal se llama línea de tierra.

Cuadrantes en s. diédrico

A la izquierda podemos observar los cuatro cuadrantes del sistema diédrico. En el primer cuadrante un punto A tiene sus dos proyecciones ortogonales A1 A2 sobre el plano horizontal y vertical respectivamente. Al girar el plano vertical en sentido contrario a las agujas del reloj, la proyección A2 vertical del punto A queda sobre la línea de tierra mientras que la horizontal A1 queda por debajo de ésta, como se ve en el dibujo de la derecha.
En el segundo cuadrante B con sus dos proyecciones horizontal y vertical B1 B2, respectivamente, se transforman mediante el giro del plano vertical en B1 B2, ambas sobre la línea de tierra, como se observa en el dibujo de la derecha.

En el tercer cuadrante C, podemos observar que al girar el plano vertical, la proyección vertical del punto C2 pasa a estar por debajo de la línea de tierra mientras que la proyección sobre el plano horizontal C1 queda por encima de la línea de tierra, conforme al dibujo de la derecha.

Un punto D en el cuarto cuadrante con sus dos proyecciones horizontal y vertical D1 D2, respectivamente, tenemos que mediante el giro del plano vertical se transforman en 2 puntos alineados sobre una vertical por debajo de la línea de tierra, conforme aparecen el dibujo de la derecha.

Representación de elementos en sistema diédrico mediante coordenadas.

Tenemos los dos planos de proyección, el horizontal y vertical. La intersección de ambos planos o línea de tierra es considerada como el eje X.

La línea perpendicular al eje sobre el plano horizontal por un punto cualquiera es considerado el eje Y . A partir de este punto u origen de coordenadas (0,0) hacemos una recta vertical y la consideramos el eje Z.

De esta forma representamos los puntos en los distintos cuadrantes: el punto A esta a 20 unidades del origen de coordenadas sobre el eje X., a partir de este punto hacia la derecha tiene un alejamiento de cinco unidades (tomado sobre el eje y) y una altura o cota de tres unidades (tomado sobre el eje Z), por tanto las coordenadas del punto A son (20,5, 3). 

En sentido contrario del que hemos utilizado tendríamos unidades con un valor negativo, por ejemplo, el punto B tiene por coordenadas (9, -7,4), esto quiere decir que sobre el eje X. está a nueve unidades, que a partir de este punto hacia la izquierda siguiendo el eje Y está a -7 unidades, y a partir de este punto a una altura o cota de cuatro unidades se localiza el punto B. Un punto que esté en el segundo cuadrante tiene sobre el eje y valor negativo y sobre el eje Z. su valor positivo, mientras que sobre el eje X. puede tenerlo positivo o negativo indistintamente.

El punto C del tercer cuadrante tiene las coordenadas negativas tanto del eje y como del eje Z., de esta forma el punto tiene por coordenadas (0, -8, -2), ello quiere decir que tiene por alejamiento ocho unidades y por cota o altura dos, negativos ambos por estar en el tercer cuadrante.
El punto D tiene por coordenadas (15,6, -20), en este cuadrante Z tiene siempre un valor negativo, mientras que el valor de Y es siempre positivo.